Question

【题目】在数学上，常用符号来表示算式，如记=，其中，.

（1）若，，，…，成等差数列，且，求证：；

（2）若，，记，且不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意求出等差数列的通项公式，然后结合二项式系数的性质证明；（Ⅱ）在二项式展开式中分别取x=-1，x=1，求出bn，再借助于二项式系数的性质化简可得，代入不等式，分n为奇数和偶数求得t的取值范围

试题解析：（1）设等差数列的通项公式为，其中为公差

则

因为，所以

所以=.

注：第（1）问也可以用倒序相加法证明.（酌情给分）

（2）令，则

令，则，所以

根据已知条件可知，

， 所以

将、代入不等式得，

当为偶数时，，所以；

当为奇数，，所以；

综上所述，所以实数的取值范围是.