Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中b=

3

2

，tanA+tanC+tan

π

3

=tanAtanCtan

π

3

，则a+c的取值范围是

（

3

2

，

3

]

．

Answer 1

分析：依题意，可求得B=

π

3

，利用正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

与三角函数间的恒等变换即可求得a+c的取值范围．

解答：解：∵tanA+tanC+tan

π

3

=tanAtanCtan

π

3

，
∴tanA+tanC=-

3

（1-tanAtanC），
∴

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

3

，即tan（A+C）=-

3

；
∵在△ABC中，A+B+C=π，
∴tan（A+C）=-tanB=-

3

，
∴tanB=

3

，B=

π

3

．
∴A+C=

2π

3

，又b=

3

2

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

b

sinB

=

3 2

3 2

=1得：a=sinA，c=sinC，
∴a+c=sinA+sinC
=sinA+sin（

2π

3

-A）
=sinA+

3

2

cosA+

1

2

snA
=

3

2

sinA+

3

2

cosA
=

3

sin（A+

π

6

），
∵A∈（0，

2π

3

），
∴A+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
∴

3

2

＜

3

sin（A+

π

6

）≤

3

．
∴a+c的取值范围是（

3

2

，

3

]．

点评：本题考查两角和与差的正切函数，考查正弦定理与三角函数间的恒等变换的应用，考查正弦函数的性质，属于中档题．