Question

已知函数f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

sin²x+sinxcosx．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间[-

π

3

，

π

3

]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）首先通过三角关系式的恒等变换变形成正弦型函数，进一步求出最小正周期和单调区间．
（2）利用函数的定义域进一步确定函数的最值．

解答： 解：（1）函数f（x）=2cosxsin（x+

π

3

）-

3

sin²x+sinxcosx=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

）．
则：T=π
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ
解得：-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ
函数的单调递增区间为：[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）
（2）由于-

π

3

≤x≤

π

3

 
所以 -

π

3

≤2x+

π

3

≤π
-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1
所以当x=kπ-

π

3

时，函数的最小值为：f（x）_min=-

3

当x=kπ+

π

12

时，函数的最大值为：f（x）_max=2

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的最小正周期，单调区间和最值的求法．