Question

数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2），其中a₃=25．若存在一个实数λ，使得{

an+λ

2n

}为等差数列，则λ=

-1

．

Answer 1

分析：由题意求出a₃．a₂．a₁．把表达式两边减去1，然后同除2ⁿ，计算

a3-1

23

，

a2-1

22

，

a1-1

21

的值，说明数列{

an+λ

2n

}为等差数列，求出λ的值．

解答：解：因为数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n≥2），a₃=25．a₂=9．a₁=3．
所以a_n-1=2a_n-1-2+2ⁿ（n≥2），
所以

an-1

2n

=

an-1-1

2n-1

+1，

a3-1

23

=3，

a2-1

22

=2，

a1-1

21

=1，
所以{

an-1

2n

}为等差数列，首项为1，公差为1的等差数列．
所以λ=-1．
故答案为：-1．

点评：本题是中档题，考查数列的递推关系式的应用，注意正确求出数列的通项公式，验证数列是等差数列是解题的关键．