Question

5．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且（2a-c）cosB=bcosC．
（1）求角B；
（2）设b=2$\sqrt{3}$，a+c=6，求a、c．

Answer 1

分析 （1）三角形ABC中，由余弦定理可得 cosB和cosC的解析式，代入bcosC=（2a-c）cosB化简可得 a²+c²-b²=ac，可得cosB的值，从而得到B的值．
（2）若b=2$\sqrt{3}$，a+c=4，代入a²+c²-b²=ac，求得ac的值，即可解得a、c的值．

解答 解：（1）三角形ABC中，由余弦定理可得 cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
代入bcosC=（2a-c）cosB可得 a²+c²-b²=ac ①，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）若b=2$\sqrt{3}$，a+c=6②，代入①可得 a²+c²-12=（a+c）²-2ac-12=36-2ac-12=ac，
∴ac=8③．
∴由②③解得：c²-6c+8=0，解得：c=4或2，故解得a=2或4．

点评 本题主要考查余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．