Question

10．数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+1=2a_n-a_n-1+2（n≥2）．
（1）设b_n=a_n+1-a_n，证明{b_n}是等差数列．
（2）求（2）令c_n=$\frac{1}{{a}_{n}+4n-2}$，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+1=2a_n-a_n-1+2（n≥2）．变形为（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=2，即b_n-b_n-1=2，即可证明．
（2）由（1）可得：b_n=2n-1．可得a_n+1-a_n=2n-1，利用“累加求和”可得：a_n=n²-2n+2．因此c_n=$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）证明：∵数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+1=2a_n-a_n-1+2（n≥2）．
∴（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=2，
即b_n-b_n-1=2，
b₁=a₂-a₁=1，
∴{b_n}是等差数列，首项为1，公差为2．
（2）解：由（1）可得：b_n=1+2（n-1）=2n-1．
∴a_n+1-a_n=2n-1，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=[2（n-1）-1]+[2（n-2）-1]+…+（2×1-1）+1
=$2×\frac{（n-1）n}{2}$-（n-1）+1
=n²-2n+2．
∴c_n=$\frac{1}{{a}_{n}+4n-2}$=$\frac{1}{{n}^{2}+2n}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴数列{c_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（{n}^{2}+3n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．