Question

18．设数列{a_n}的前n项和S_n=n²-4n+1，则|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+4n-1，n=1，2}\\{{n}^{2}-4n+7，n≥3}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 S_n=n²-4n+1，可得当n=1时，a₁=-2；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．可得a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-2，n=1}\\{2n-5，n≥2}\end{array}\right.$．令a_n≤0，解得n=1，2．令|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=T_n．当n=1时，T₁=-a₁．当n=2时，T₂=-a₁-a₂．当n≥3时，|a_n|=a_n．T_n=-a₁-a₂+a₃+…+a_n=-2S₂+S_n，即可得出．

解答 解：∵S_n=n²-4n+1，
∴当n=1时，a₁=-2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-4n+1-[（n-1）²-4（n-1）+1]=2n-5．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-2，n=1}\\{2n-5，n≥2}\end{array}\right.$．
令a_n≤0，解得n=1，2．
令|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=T_n．
∴当n=1时，T₁=-a₁=2．
当n=2时，T₂=-a₁-a₂=-S₂=3．
当n≥3时，|a_n|=a_n．
T_n=-a₁-a₂+a₃+…+a_n
=-2S₂+S_n
=-2×（-3）+n²-4n+1，
=n²-4n+7．
故答案为：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+4n-1，n=1，2}\\{{n}^{2}-4n+7，n≥3}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式及其前n项和公式、含绝对值数列的求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．