Question

6．现有一个能容纳10个半径为1的小球的封闭正四面体容器，则该容器棱长最小值为（　　）

• A． 4+2$\sqrt{2}$
• B． 4+2$\sqrt{3}$
• C． 4+2$\sqrt{6}$
• D． 6+2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由球与正四面体相切可得，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，共10个，求出正四面体的高，进而得到所求棱长．

解答 解：由球与正四面体相切可得，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，共10个．
当每层外沿的球均与正四面体相切时，该容器棱长最小，设为a，
第一层的球心到正四面体的上顶点的距离为d₁=3r；
第一层的球心到第二层的球心的距离为d₂=$\frac{\sqrt{6}}{3}$•2r；
第二层的球心到第三层的球心的距离为d₃=$\frac{\sqrt{6}}{3}$•2r；
第三层的球心到底面的距离为d₄=r．
故正四面体的高h=d₁+d₂+d₃+d₄=（4+$\frac{4\sqrt{6}}{3}$）r=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，其中r=1，
∴容器棱长最小a=4+2$\sqrt{6}$，
故选：C．

点评 本题考查正四面体与球的位置关系：相切，同时考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．