Question

已知函数f（x）=2aln（1+x）-x（a＞0）．
（I）求f（x）的单调区间和极值；
（II）求证：4lge+

lge

2

+

lge

3

+…+

lge

n

＞lge

(1+n)n

nn

(n+1)（n∈N^*）．

Answer 1

（I）定义域为（-1，+∞）f′(x)=

2a

1+x

-1
令f'（x）＞0?-1＜x＜2a-1，令f'（x）＜0?x＞2a-1
故f（x）的单调递增区间为（-1，2a-1）
f（x）的单调递减区间为（2a-1，+∞）
f（x）的极大值为2aln2a-2a+1
（II）证：要证4lge+

lge

2

+

lge

3

++

lge

n

＞lge

(1+n)n

nn

(n+1)
即证4+

1

2

+

1

3

++

1

n

＞

lge (1+n)n nn (n+1)

lge

即证4+

1

2

+

1

3

++

1

n

＞lne

(1+n)n

nn

(n+1)
即证1+

1

2

+

1

3

++

1

n

+3＞ln(n+1)+(1+

1

n

)n
令a=

1

2

，由（I）可知f（x）在（0，+∞）上递减
故f（x）＜f（0）=0
即ln（1+x）＜x
令x=

1

n

(n∈N*)
故ln(1+

1

n

)=ln

n+1

n

=ln(n+1)-lnn＜

1

n

累加得，ln(n+1)＜1+

1

2

+

1

3

++

1

n

ln(1+

1

n

)＜

1

n

?ln(1+

1

n

)n＜1?(1+

1

n

)n＜e＜3
故1+

1

2

+

1

3

++

1

n

+3＞ln(n+1)+(1+

1

n

)n，得证