Question

设f(x)=

a

•

b

．其中向量

a

=(

2

sinωx，

2

cosωx+1)，

b

=(

2

cosωx，

2

cosωx-1)
（1）当ω=1，x∈(0，

π

2

)时，求函数f（x）的值域；
（2）当ω=-1时，求函数f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）根据向量数量积的坐标公式，可得f（x）=

a

•

b

=

2

sin(2ωx+

π

4

)，由ω=1，x∈(0，

π

2

)，求出相位角的取值范围，结合正弦型函数的图象和性质，可得函数f（x）的值域；
（2）当ω=-1时，函数f（x）=-

2

sin(2x-

π

4

)，则函数f（x）的单调递减区间即求f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)的单调递增区间，由正弦函数的单调性，构造不等式，解不等式可得函数f（x）的单调递减区间．

解答：解：∵

a

=(

2

sinωx，

2

cosωx+1)，

b

=(

2

cosωx，

2

cosωx-1)
∴f（x）=

a

•

b

=2sinωxcosωx+2cos²ωx-1=sin2ωx+cos2ωx
=

2

sin(2ωx+

π

4

)…（3分）
（1）当ω=1时，f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)
∵x∈(0，

π

2

)，∴

π

4

＜2x+

π

4

＜

5π

4

，-

2

2

＜sin(2x+

π

4

)≤1，
∴-1＜f(x)≤

2

，函数f（x）的值域是(-1，

2

]．…（7分）
当ω=-1时，f(x)=

2

sin(-2x+

π

4

)=-

2

sin(2x-

π

4

)
求函数f（x）的单调递减区间即求f(x)=

2

sin(2x-

π

4

)的单调递增区间
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

，k∈Z
∴当ω=-1时，函数f（x）的单调递减区间是[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]，k∈Z．…（12分）

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积的运算，两角和与差的正弦函数，正弦函数的图象和性质，熟练掌握正弦函数的图象和性质，是解答的关键．