Question

19．在平面直角坐标系中，A（1，t），C（-2t，2），$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$（O是坐标原点），其中t∈（0，+∞）．
（1）求 B点坐标；
（2）求四边形OABC在第一象限部分的面积S（t）．

Answer 1

分析 （1）根据向量的坐标运算即可求B点坐标；
（2）根据条件判断四边形OABC为矩形，然后根据B的坐标求出四边形OABC在第一象限部分图象即可得到结论．

解答 解：（1）∵A（1，t），C（-2t，2），
∴$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$=（1，t）+（-2t，2）=（1-2t，t+2），
即B（1-2t，t+2）．
（2）∵$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$，∴OABC为平行四边形，
又∵$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=-2t+2t=0$，
∴OA⊥OC，∴四边形OABC为矩形．
∵$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$=（1-2t，t+2），
当1-2t＞0，即0＜t＜$\frac{1}{2}$时，
A在第一象限，B在第一象限，C在第二象限，（如图1）
此时BC的方程为：y-2=t（x+2t），
令x=0，得BC交y轴于K（0，2t²+2），
∴S（t）=S_OABC-S_△OKC=2（1-t+t²-t³）=2（-t³+t²-t+1）．
当1-2t≤0，即t≥$\frac{1}{2}$时，A在第一象限，B在y轴上或在第二象限，C在第二象限，（如图2）
此时AB的方程为：y-t=-$\frac{1}{t}$（x-1），
令x=0，得AB交轴于M（0，t+$\frac{1}{t}$），
∴S（t）=S_△OAM=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{1}{t}$），
∴S（t）=$\left\{\begin{array}{l}{2（-{t}^{3}+{t}^{2}-t+1），}&{0＜t＜\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2}（t+\frac{1}{t}），}&{t≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查平面向量坐标的基本运算，以及平面向量的应用，综合性较强，根据条件判断四边形OABC为矩形是解决本题的关键．．