Question

已知函数f（x）=log_a是奇函数．（a＞0，且a≠1）
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明．
（3）当a＞1，x∈（r，a-2）时，f（x）的值域是（1，+∞），求a与r的值．

Answer 1

解：（1）由f（x）=log_a是奇函数得
f（-x）=-f（x）
即log_a +log_a =0
log _a =0即m=-1（m=1舍去）
（2）由（1）得，f（x）=log_a （a＞0，a≠1），
任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，令t（x）=，
则t（x₁）-t（x₂）==
∵x₁＞1，x₂＞1，x₁＜x₂
∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0
∴t（x₁）＞t（x₂）
∴当a＞1时，log_a ＞log_a，
f（x）在（1，+∞）上是减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）因为x∈（r，a-2），定义域D=（-∞，-1）∪（1，+∞），
1°当r≥1时，则1≤r＜a-2，即a＞3，…（14分）
所以f（x）在（r，a-2）上为减函数，值域恰为（1，+∞），所以f（a-2）=1

即log_a=log_a=1，即=a

所以a=2+且r=1 

2°当r＜1时，则（r，a-2）?（-∞，-1），所以0＜a＜1，这与a＞1不合，
所以a=2+且r=1．

分析：（1）由函数f（x）是奇函数，可得出f（x）=-f（x），由此方程恒成立，可得出参数m的方程，解出参数的值即可；
（2）由于本题中参数a的取值范围未定，故应对它的取值范围分类讨论，判断函数的单调性再进行证明；
（3）由题设x∈（r，a-2）时，f（x）的值的范围恰为（1，+∞），可根据函数的单调性确定出两个参数a及r的方程，解方程得出两个参数的值．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．