Question

（1）从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：能组成多少个没有重复数字的七位数？其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？
（2）在二项式（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，求有理项不相邻的概率．

Answer 1

考点：古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计,排列组合

分析：（1）本题是一个分步计数问题，第一步在4个偶数中取3个，有C₄³种结果，第二步在5个奇数中取4个，有C₅⁴种结果，第三步得到的7个数字进行排列有A₇⁷种结果，根据分步计数原理得到结果，将3个偶数排在一起，有A₃³种情况，4个奇数也排在一起有A₄⁴种情情况，问题得以解决
（2）由二项式系数的性质得到n的值，由通项公式可得展开式中的有理项的个数，求出9项的全排列数，由插空排列求出有理项都互不相邻的排列数，最后由古典概型概率计算公式得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知本题是一个分步计数问题，第一步在4个偶数中取3个，有C₄³种结果，第二步在5个奇数中取4个，有C₅⁴种结果，第三步得到的7个数字进行排列有A₇⁷种结果，
∴符合题意的七位数有C₄³C₅⁴A₇⁷=100800．
上述七位数中，3个偶数排在一起有A₃³种情况，4个奇数也排在一起有A₄⁴种情况，
共有C₄³C₅⁴A₃³A₄⁴A₂²=5760，
（2）解：∵二项式（

x

+

1

2 4 x

）ⁿ的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，
∴二项式的二项展开式共有9项，则n=8．
其通项为T_k+1=

C

k 8

•(

x

)8-k•(

1

2 4 x

)k=

1

2k

C

k 8

•

16-3k

4

当r=0，4，8时，项为有理项．
展开式的9项全排列共有

A

9 9

种，
有理项互不相邻可把6个无理项全排，把3个有理项在形成的7个空中插孔即可，有

A

6 6

•

A

3 7

种．
∴有理项都互不相邻的概率为

A 6 6 • A 3 7

A 9 9

=

5

12

点评：本题考查排列组合及简单计数问题以及二项式系数的性质，训练了利用古典概型概率计算公式求概率，本题解题的关键是对于要求相邻的元素要采用捆绑法，对于不相邻的元素要采用插空法，属于中档题