Question

15．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1•a_n=2ⁿ，则S₂₀₁₅等于（　　）

• A． 2²⁰¹⁵-1
• B． 2¹⁰⁰⁸-3
• C． 2¹⁰⁰⁹-3
• D． 2¹⁰⁰⁹-2

Answer 1

分析 通过a_n+1•a_n=2ⁿ，作商可知$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，进而可知数列{a_n}中奇数项构成以1为首项、2为公比的等比数列，偶数项构成首项、公比均为2的等比数列，计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1•a_n=2ⁿ，
∴$\frac{{a}_{n+2}•{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}•{a}_{n}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n}}$=2，
即$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=2，
又∵a₁=1，
∴a₂=$\frac{{2}^{1}}{{a}_{1}}$=2，
∴数列{a_n}中奇数项构成以1为首项、2为公比的等比数列，
偶数项构成首项、公比均为2的等比数列，
又∵前2015项中共有奇数项1008项、偶数项1007项，
∴S₂₀₁₅=$\frac{1-{2}^{1008}}{1-2}$+$\frac{2（1-{2}^{1007}）}{1-2}$
=2¹⁰⁰⁸-1+2¹⁰⁰⁸-2
=2¹⁰⁰⁹-3，
故选：C．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，找出奇数项、偶数项分别构成以2为公比的等比数列是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．