Question

设F₁、F₂是椭圆

x2

4

+y2=1的两个焦点，点P在椭圆上，且△F₁PF₂的面积为1，则

PF1

•

PF2

的值为（　　）

• A．1
• B．0
• C．

  1

  2

• D．2

Answer 1

分析：由题意，算出椭圆的焦点坐标，根据三角形面积公式算出P的纵坐标为

3

3

，从而得到第一象限内满足条件的点P坐标，从而得到向量

PF1

、

PF2

的坐标，算出则

PF1

•

PF2

的值．

解答：解：∵椭圆

x2

4

+y2=1中，a=2，b=1
∴c=

a2-b2

=

3

，得椭圆的焦点为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0）
设P的纵坐标为n，则△F₁PF₂的面积为S=

1

2

|F₁F₂|×n=1，
即

1

2

×2

3

×n=1，解之得n=

3

3

由椭圆的对称性，设P为第一象限的点，求得P的坐标为（

2 6

3

，

3

3

）
∴

PF1

=(-

3

-

2 6

3

，-

3

3

)，

PF1

=(

3

-

2 6

3

，-

3

3

)
可得

PF1

•

PF2

=（-

3

-

2 6

3

）（

3

-

2 6

3

）+（-

3

3

）（-

3

3

）=

8

3

-3+

1

3

=0
故选：B

点评：本题给出椭圆的焦点三角形的面积，求数量积

PF1

•

PF2

的值．着重考查了椭圆的定义与标准方程、向量的数量积等知识，属于中档题．