Question

在三棱锥P-ABC中，三侧棱两两垂直，且PB=PC=2PA，PO垂直于面ABC，O是垂足，如果设

PA

=

a

，

PB

=

b

，

PC

=

c

，请用

a

、

b

、

c

表示

P0

：

2

3

a

+

1

6

b

+

1

6

c

．

Answer 1

分析：根据条件可知O是△ABC的垂心，利用三棱锥的体积计算公式求出PO的长度，从而求得AO与AD的关系，进而利用空间向量基本定理即可求得结果．

解答：解：不妨设：PA=1，则PB=PC=2，
∵三侧棱两两垂直，
∴V_P-ABC=

1

3

×

1

2

×1×2×2=

2

3

，
AB=AC=

5

，BC=2

2

，
∵PO垂直于面ABC，O是垂足，三侧棱两两垂直，
∴O是△ABC的垂心，
连接AO交BC于D，则D为BC的中点，
AD=

3

，∴S△ABC=

1

2

×2

2

×

3

=

6

，
AO=

3VP-ABC

S△ABC

=

2

6

=

3

3

，
∴AO=

1

3

AD，
∴

P0

=

PA

+

AO

=

PA

+

1

3

AD

=

PA

+

1

3

×

1

2

(

AB

+

AC

)
=

PA

+

1

6

(

PB

-

PA

+

PC

-

PA

)=

2

3

a

+

1

6

b

+

1

6

c

故答案为：

2

3

a

+

1

6

b

+

1

6

c

点评：本题考查三棱锥的体积运算和空间向量基本定理，求得点O是△ABC的垂心以及AO=

1

3

AD，是解题的关键，属中档题．