Question

已知函数f（x）=2x³+ax²+bx+3在x=-1和x=2处取得极值．
（1）求f（x）的表达式和极值．
（2）若f（x）在区间[m，m+4]上是单调增函数，试求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由函数在x=-1和x=2处取得极值，得到-1和2是导函数的两个零点，利用根与系数的关系列式求a，b的值，则函数解析式可求，然后由导函数大于0和小于0求出单调区间，得到极值点，从而求得极值；
（2）把函数f（x）在区间[m，m+4]上是单调增函数转化为[m，m+4]是（-∞，-1]或[2，+∞）的子集，然后利用端点值的关系列不等式求解m的范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=2x³+ax²+bx+3在x=-1和x=2处取得极值，
∴f′（x）=6x²+2ax+b=0的两根为-1和2，
由根与系数关系得：

- a 3 =-1+2 a 6 =-1×2

，解得

a=-3 b=-12

．
∴f（x）=2x³-3x²-12x+3．
∴f′（x）=6x²-6x-12=6（x+1）（x-2）．
令f′（x）＞0，得x＜-1或x＞2；
令f′（x）＜0，得-1＜x＜2．
∴f（x）在（-∞，-1]，[2，+∞）上为增函数，在（-1，2）上为减函数．
∴f（x）_极大值=f（-1）=10，f（x）_极小值=f（2）=-17；
（2）由（1）知，f（x）在（-∞，-1]，[2，+∞）上为增函数，
∴要使f（x）在区间[m，m+4]上是单调增函数，
则m+4≤-1或m≥2．
∴m≤-5或m≥2．
即m的取值范围是（-∞，-5]∪[2，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的极值，考查了集合之间的关系，解答的关键是对端点值的取舍，是中档题．