Question

7．已知函数f（x）的值域为[$\frac{3}{8}，\frac{4}{9}$]，求g（x）=f（x）+$\sqrt{1-2f（x）}$的最值．

Answer 1

分析 通过换元得到g（t）=t+$\sqrt{1-2t}$．又设$\sqrt{1-2t}$=k，求出k的范围，得到g（k）=-$\frac{{（k-1）}^{2}-2}{2}$，根据二次函数的性质，求出函数的值域即可．

解答 解：设f（x）=t，则$\frac{3}{8}$≤t≤$\frac{4}{9}$．
∴g（t）=t+$\sqrt{1-2t}$．
又设$\sqrt{1-2t}$=k，故有t=$\frac{1{-k}^{2}}{2}$．
则$\frac{1}{3}$≤k≤$\frac{1}{2}$．（可由t的范围求得）
故g（k）=$\frac{1{-k}^{2}}{2}$+k=-$\frac{{（k-1）}^{2}-2}{2}$．
∵$\frac{1}{3}$≤k≤$\frac{1}{2}$，
∴当k=$\frac{1}{3}$时，有最小值$\frac{7}{9}$
当k=$\frac{1}{2}$时，有最大值$\frac{7}{8}$，
∴值域[$\frac{7}{9}$，$\frac{7}{8}$]．

点评 本题考查了二次函数的值域问题，考查换元思想，求出k的范围，得到g（k）=-$\frac{{（k-1）}^{2}-2}{2}$是解题的关键，本题是一道中档题．