Question

设x，y满足约束条件

3x-y-2≤0 x-y≥0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则

1

a2

+

1

4b2

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：数形结合

分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系式，然后利用基本不等式求

1

a2

+

1

4b2

的最小值．

解答： 解：由约束条件作可行域如图．

由图可知，使目标函数数z=ax+2by（a＞0，b＞0）取得最大值的点为B（1，1），
∴a+2b=1，
则

1

a2

+

1

4b2

≥2

1 a2 • 1 4b2

=

1

ab

（当且仅当a=2b时取等号），
由

a+2b=1 a=2b

，解得：

a= 1 2 b= 1 4

．
∴

1

a2

+

1

4b2

的最小值为

1

ab

=

1

1 2 × 1 4

=8．
故答案为：8．

点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．