Question

已知数列{a_n}的首项为a₁=1，且满足对任意的n∈N^*，都有a_n+1-a_n≤2ⁿ，a_n+2-a_n≥3×2ⁿ成立，则a₂₀₁₄=（　　）

• A、2²⁰¹⁴-1
• B、2²⁰¹⁴+1
• C、2²⁰¹⁵-1
• D、2²⁰¹⁵+1

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法,不等式的解法及应用

分析：由a_n+2-a_n≥3×2ⁿ，得a_n+2-a_n+1+a_n+1-a_n≥3×2ⁿ，结合a_n+1-a_n≤2ⁿ得an+1-an+2≥-2×2n，则
得到a_n+1-a_n≥2ⁿ，进一步得到an+1-an=2n．然后利用累加法求出数列{a_n}的通项公式，则答案可求．

解答： 解：由a_n+2-a_n≥3×2ⁿ，得
a_n+2-a_n+1+a_n+1-a_n≥3×2ⁿ ①，
且an+2-an+1≤2×2n，
即an+1-an+2≥-2×2n  ②，
①+②得：a_n+1-a_n≥2ⁿ，
又a_n+1-a_n≤2ⁿ，
∴an+1-an=2n．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2^n-1+2^n-2+…+2²+2¹+1
=

1-2n

1-2

=2n-1．
∴a2014=22014-1．
故选：A．

点评：本题考查了数列递推式，考查了数列与不等式的综合，训练了累加法求数列的通项公式，由两不等式联立得到an+1-an=2n是解答该提的关键，是中高档题．