Question

已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，表面积最大的圆柱的底面半径是

3R

4

．

Answer 1

分析：设内接圆柱的底面半径为r、高为h、全面积为S，利用比例线段求出h=3R-3r，从而将全面积表示成底面半径r的函数，利用二次函数的性质加以计算，可得答案．

解答：解：设内接圆柱的底面半径为r、高为h、全面积为S，
可得

3R-h

3R

=

r

R

，解之得h=3R-3r
∴S=2πrh+2πr²=2πr（3R-3r）+2πr²
=-4πr²+6πRr=-4π（r²-

3

2

Rr）
=-4π（r-

3R

4

R）²+

9

4

πR²
∴当r=

3R

4

时，S有最大值

9

4

πR²．
即圆锥的所有内接圆柱中，表面积最大的圆柱的底面半径是

3R

4

．
故答案为：

3R

4

点评：本题给出特殊的圆锥，求它的内接圆柱表面积的最大值．着重考查了圆锥的性质、圆柱的表面积计算和比例线段的计算等知识，属于中档题．