Question

已知圆C的方程为x²+(y-4)²=4,点O是坐标原点.直线l:y=kx与圆C交于M,N两点.

(1)求k的取值范围.

(2)设Q(m,n)是线段MN上的点,且=+.请将n表示为m的函数.

Answer 1

 (1)将y=kx代入x²+(y-4)²=4中,得(1+k²)x²-8kx+12=0.(*)

由Δ=(-8k)²-4(1+k²)×12>0,得k²>3.

所以,k的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).

(2)因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x₁,kx₁),(x₂,kx₂),则|OM|²=(1+k²),|ON|²=(1+k²),

又|OQ|²=m²+n²=(1+k²)m².

由=+,得

=+,

即=+=.

由(*)式可知,x₁+x₂=,x₁x₂=,

所以m²=.

因为点Q在直线y=kx上,所以k=,代入m²=中并化简,得5n²-3m²=36.

由m²=及k²>3,可知0<m²<3,

即m∈(-,0)∪(0,).

根据题意,点Q在圆C内,则n>0,

所以n==.

于是,n与m的函数关系为n=

(m∈(-,0)∪(0,)).