Question

（本题满分12分）

设椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交A,B且

？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由。

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Answer 1

【答案】

（1）

（2）存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且．

【解析】

试题分析：（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，），N(,1)两点,

所以解得所以椭圆E的方程为

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,

则△=,即

，

 

要使,需使,即,所以,所以又,

所以,所以,即或,

因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为,,,

所求的圆为,此时圆的切线都满足或,

而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,

综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且．

考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆与椭圆的位置关系。

点评：中档题，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往要利用韦达定理。存在性问题，往往从假设存在出发，运用题中条件探寻得到存在的是否条件具备。（2）小题解答中，集合韦达定理，应用平面向量知识证明了圆的存在性。