Question

设ω=cos

π

5

+isin

π

5

，则以ω，ω³，ω⁷，ω⁹为根的方程是（　　）

A．x⁴+x³+x²+x+1=0

B．x⁴-x³+x²-x+1=0

C．x⁴-x³-x²+x+1=0

D．x⁴+x³+x²-x-1=0

Answer 1

分析：根据题目给出的ω，可求得其5次方为1，所以ω=cos

π

5

+isin

π

5

是x⁵+1=0的一个虚根，而方程x⁵+1=（x+1）（x⁴-x³+x²-x+1）=0的另外四个根就是ω，ω³，ω⁷，ω⁹

解答：解：因为ω=cos

π

5

+isin

π

5

，所以ω⁵+1=(cos

π

5

+isin

π

5

)5+1=cosπ+isinπ+1=0，
所以ω=cos

π

5

+isin

π

5

是方程x⁵+1=0的一个根，
因为-1=cosπ+isinπ，
则-1的5次方根为coc

π+2kπ

5

+isin

π+2kπ

5

（k=0，1，2，3，4），
当k=0时为ω，当k=1时为ω³，当k=3时为ω⁷，当k=4时为ω⁹，
而x⁵+1=（x+1）（x⁴-x³+x²-x+1）=0，
故ω，ω³，ω⁷，ω⁹ 都是方程x⁴-x³+x²-x+1=0．
故选B．

点评：本题考查复数三角形式的混合运算，注意ω=cos

π

5

+isin

π

5

是x⁵+1=0的一个虚根，是基础题．