Question

4．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：y=$\frac{1}{2}$x²，则过点P（1，0）且与曲线C相切的直线方程为y=0或2x-y-2=0．

Answer 1

分析 设切点为（x₀，y₀），根据导数的几何意义求出曲线在点x₀处的切线斜率，由点斜式求出切线方程，把点（1，0）代入列出方程求出x₀、y₀，代入切线方程化简即可．

解答 解：设过点P（1，0）的切线与曲线切于点（x₀，y₀），
因为y′（x）=x，所以切线的斜率k=x₀，
则切线方程是y-y₀=x₀（x-x₀），
因过点B（1，0），所以0-y₀=x₀（1-x₀），①
又${y}_{0}=\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}$，②，
由①②解得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=0}\\{{y}_{0}=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2}\\{{y}_{0}=2}\end{array}\right.$，
代入是y-y₀=x₀（x-x₀），化简可得y=0或2x-y-2=0，
故答案为：y=0或2x-y-2=0．

点评 本题考查导数的几何意义以及切线方程，切点即在曲线又在切线上的应用，注意在“在”与“过”的区别，考查化简、计算能力．