Question

14．已知数列{a_n}中，a_n=1+$\frac{1}{a+2（n-1）}$（n∈N^*，a∈R，且a≠0）若对任意的n∈N^*．都有a_n≤a₆成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 通过记f（x）=1+$\frac{1}{2[x-（1-\frac{a}{2}）]}$可知其图象关于点（1-$\frac{a}{2}$，1）成中心对称，利用a₆为最大项计算即得结论．

解答 解：记f（x）=1+$\frac{1}{a+2（x-1）}$=1+$\frac{1}{2[x-（1-\frac{a}{2}）]}$，
则函数f（x）的图象关于点（1-$\frac{a}{2}$，1）成中心对称，
且在区间（-∞，1-$\frac{a}{2}$）、（1-$\frac{a}{2}$，+∞）上均单调递减，
依题意，a₆为最大项，
∴5＜1-$\frac{a}{2}$＜6，
解得：-10＜a＜-8．

点评 本题以数列为载体，考查函数的单调性，注意解题方法的积累，属于中档题．