Question

4．设x＞0，y＞0．z＞0，且x+y=2，x²+y²+z²=6，则xy+yz+zx的取值范围是（2$\sqrt{2}$，5]．

Answer 1

分析 利用x+y=2，x²+y²+z²=6，可得xy=$\frac{1}{2}$z²-1，xy+yz+zx=（x+y）z+xy=$\frac{1}{2}$z²-1+2z=$\frac{1}{2}$（z+2）²-3，确定z的范围，即可确定xy+yz+zx的取值范围．

解答 解：∵x²+y²+z²=6，
∴x²+y²=6-z²，
∴（x+y）²-2xy=6-z²，
∵x+y=2，
∴xy=$\frac{1}{2}$z²-1，
∴xy+yz+zx=（x+y）z+xy=$\frac{1}{2}$z²-1+2z=$\frac{1}{2}$（z+2）²-3，
∵0＜xy≤$\frac{1}{4}$（x+y）²=1，
∴0＜$\frac{1}{2}$z²-1≤1，
∴$\sqrt{2}$＜z≤2，
∴2$\sqrt{2}$＜xy+yz+zx≤5．
故答案为：（2$\sqrt{2}$，5]．

点评 本题考查xy+yz+zx的取值范围，考查学生分析解决问题的能力，正确变形是关键．