Question

14．已知sinα+sinβ=$\frac{1}{2}$，则cosα+cosβ的取值范围是[-$\frac{\sqrt{15}}{2}$，$\frac{\sqrt{15}}{2}$]．

Answer 1

分析 由sinα+sinβ=$\frac{1}{2}$，令t=cosα+cosβ，平方相加可得t²=$\frac{7}{4}$+2cos（α-β）∈[0，$\frac{15}{4}$]，由此求得t的范围．

解答 解：∵sinα+sinβ=$\frac{1}{2}$，令t=cosα+cosβ，平方相加可得 1+1+2cosαcosβ+2sinαsinβ=t²+$\frac{1}{4}$，
解得t²=$\frac{7}{4}$+2cos（α-β）∈[0，$\frac{15}{4}$]，故t∈[-$\frac{\sqrt{15}}{2}$，$\frac{\sqrt{15}}{2}$]，
故答案为：[-$\frac{\sqrt{15}}{2}$，$\frac{\sqrt{15}}{2}$]．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，余弦函数的值域，属于基础题．