Question

3．在△ABC中，已知2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|=3|$\overrightarrow{BC}$|²，求角A，B，C．

Answer 1

分析 充分利用已知等式变形没机会正弦定理求三角形的内角．

解答 解：设BC=a，AC=b，AB=c，则由2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|得到2bccosA=$\sqrt{3}$bc，所以cosA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又A∈（0，π），∴A=$\frac{π}{6}$；
又$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|=3|$\overrightarrow{BC}$|²，所以bc=$\sqrt{3}$a²，由正弦定理得到sinCsinB=$\sqrt{3}$sin²A，
∴sinCsin（π-A-C）=sinCsin（$\frac{5π}{6}$-C）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
展开得到sinC（$\frac{1}{2}$cosC-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinC）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴2sinCcosC+2$\sqrt{3}$sin²C=$\sqrt{3}$，
∴sin2C+$\sqrt{3}$（1-cos2C）=$\sqrt{3}$
∴sin（2C-$\frac{π}{3}$）=0，
∵A=$\frac{π}{6}$，∴0＜C＜$\frac{5π}{6}$，
∴$-\frac{π}{3}＜2C-\frac{π}{3}＜\frac{4π}{3}$
∴2C-$\frac{π}{3}$=0或者2C-$\frac{π}{3}$=π，
∴C=$\frac{π}{6}$或C=$\frac{2π}{3}$；
故A=$\frac{π}{6}$，B=$\frac{2π}{3}$，C=$\frac{π}{6}$；或A=$\frac{π}{6}$，C=$\frac{2π}{3}$，B=$\frac{π}{6}$．

点评 本题考查了平面向量是数量积公式以及利用正弦定理求三角形的内角．