Question

8．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且$\frac{{S}_{3}}{3}$-$\frac{{S}_{2}}{2}$=1，a₅和a₇的等差中项为13
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=$\frac{4}{{a}_{n}^{2}-1}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，根据等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，求出d和a₁，即可求出a_n及S_n；
（2）由（1）化简b_n=$\frac{4}{{a}_{n}^{2}-1}$，利用裂项相消法求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵$\frac{{S}_{3}}{3}$-$\frac{{S}_{2}}{2}$=1，a₅和a₇的等差中项为13，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3{a}_{1}+3d}{3}-\frac{2{a}_{1}+d}{2}=1}\\{{a}_{1}+5d=13}\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=3+2（n-1）=2n+1，
S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}×d$=n²+2n；
（2）由（1）得，b_n=$\frac{4}{{a}_{n}^{2}-1}$=$\frac{4}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，裂项相消法求数列的和，考查化简、变形能力，属于中档题．