Question

20．已知函数f（x）=sin²x-sin²（x-$\frac{π}{6}$），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的余弦降幂化积，则函数的最小正周期可求；
（2）由x的范围求得相位的范围，进一步求得函数的最值．

解答 解：（1）∵f（x）=sin²x-sin²（x-$\frac{π}{6}$）
=$si{n}^{2}x-\frac{1-cos（2x-\frac{π}{3}）}{2}$=$si{n}^{2}x+\frac{1}{2}cos（2x-\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}（cos2xcos\frac{π}{3}+sin2xsin\frac{π}{3}）-\frac{1}{2}$
=$-\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{4}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{4}sin2x$
=$\frac{\sqrt{3}}{4}sin2x-\frac{1}{4}cos2x=\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{6}）$．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]，∴2x∈[$-\frac{2π}{3}，\frac{π}{2}$]，
则2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{5π}{6}，\frac{π}{3}$]，
∴$\frac{1}{2}sin（2x-\frac{π}{6}）∈$[$-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{4}$]．
故f（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值分别为$\frac{\sqrt{3}}{4}，-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查三角函数值域的求法，运用辅助角公式化简是解答该题的关键，是基础题．