Question

10．无穷数列{a_n}满足a_n+1=$\frac{{a}_{n}-\sqrt{2}+1}{1+（\sqrt{2}-1）{a}_{n}}$．证明{a_n}是周期列．

Answer 1

分析 通过a_n+1=$\frac{{a}_{n}-\sqrt{2}+1}{1+（\sqrt{2}-1）{a}_{n}}$化简可知a_n+1=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}+1}$，从而a_n-1=$\frac{{a}_{n-3}-1}{{a}_{n-3}+1}$，代入计算可知a_n+1=-$\frac{1}{{a}_{n-3}}$，从而a_n-3=-$\frac{1}{{a}_{n-7}}$，再次代入上式可得结论．

解答 证明：依题意，a_n+1=$\frac{{a}_{n}-\sqrt{2}+1}{1+（\sqrt{2}-1）{a}_{n}}$
=$\frac{\frac{{a}_{n-1}-（\sqrt{2}-1）}{1+（\sqrt{2}-1）{a}_{n-1}}-（\sqrt{2}-1）}{1+（\sqrt{2}-1）•\frac{{a}_{n-1}-（\sqrt{2}-1）}{1+（\sqrt{2}-1）{a}_{n-1}}}$
=$\frac{（2\sqrt{2}-2）{a}_{n-1}-（2\sqrt{2}-2）}{（2\sqrt{2}-2）{a}_{n-1}+（2\sqrt{2}-2）}$
=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}+1}$，
即a_n+1=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}+1}$，
∴a_n-1=$\frac{{a}_{n-3}-1}{{a}_{n-3}+1}$，
∴a_n+1=$\frac{{a}_{n-1}-1}{{a}_{n-1}+1}$
=$\frac{\frac{{a}_{n-3}-1}{{a}_{n-3}+1}-1}{\frac{{a}_{n-3}-1}{{a}_{n-3}+1}+1}$
=$\frac{-2}{2{a}_{n-3}}$
=-$\frac{1}{{a}_{n-3}}$，
∴a_n-3=-$\frac{1}{{a}_{n-7}}$，
∴a_n+1=-$\frac{1}{{a}_{n-3}}$=-$\frac{1}{-\frac{1}{{a}_{n-7}}}$=a_n-7，
∴a_n=a_n-8，
即数列{a_n}是周期为8的周期数列．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．