Question

15．在数列{a_n}中，a₁=2，且对任意的自然数n∈N^*，都有a₁+a₂+a₃+…+a_n=na_n+n（n-1）成立，求数列的通项公式．

Answer 1

分析 通过a₁+a₂+a₃+…+a_n=na_n+n（n-1）与a₁+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1=（n+1）a_n+1+n（n+1）作差、计算即得结论．

解答 解：∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=na_n+n（n-1），
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n+a_n+1=（n+1）a_n+1+n（n+1），
两式相减得：a_n+1=（n+1）a_n+1+n（n+1）-[na_n+n（n-1）]，
整理得：na_n+1-na_n+2n=0，
即a_n+1=a_n-2，
又∵a₁=2，
∴数列{a_n}是以首项为2、公差为-2的等差数列，
∴a_n=2-2（n-1）=-2n+4．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．