Question

5．已知函数f（x）=e^x+ax²，下列命题：
①对于任意a∈（0，+∞），都有f（x）＞0恒成立；
②对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）都存在最小值；
③存在a∈（-∞，0），使函数f（x）有三个零点；
④存在a∈（-∞，0），使函数f（x）有减区间．
其中正确命题的序号是①②④．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 根据二次函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，逐一分析四个结论的真假，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：对于任意a∈（0，+∞），y=ax²≥0恒成立，
又由y=e^x＞0恒成立，
故此时f（x）=e^x+ax²＞0恒成立，故①正确；
∵f′（x）=e^x+2ax=0，则方程有唯一的实根b，
当x＜b时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当x＞b时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
故当x=b时，f（x）取得最小值，故②，④正确；
此时函数至多有两个零点，故③错误；
故正确命题的序号是：①②④，
故答案为：①②④

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了二次函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，难度中档．