Question

13．函数f（x）=cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的倍角公式进行化简即可求f（x）的最小正周期；
（2）利用三角函数的有界性即可求f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）=cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}cos2x$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=$\frac{1}{2}$+cos（2x-$\frac{π}{3}$），
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）∵f（x）=$\frac{1}{2}$+cos（2x-$\frac{π}{3}$），
-1≤cos（2x-$\frac{π}{3}$）≤1，
∴-$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$+cos（2x-$\frac{π}{3}$）≤$\frac{3}{2}$，
即-$\frac{1}{2}$≤f（x）≤$\frac{3}{2}$，
即f（x）的值域[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

点评 本题主要考查三角函数的周期进而值域的计算，利用三角函数的倍角公式以及辅助角公式是解决本题的关键．