Question

3．若a∈R⁺，且对任何x∈R⁺都有$[f（{x}^{3}+3）]^{\root{3}{x}}$=a²，那么对于任何y∈R⁺，求[f（$\frac{8+3{y}^{3}}{{y}^{3}}$）]${\;}^{（\frac{16}{y}）^{\frac{1}{3}}}$的值．

Answer 1

分析 根据条件将[f（$\frac{8+3{y}^{3}}{{y}^{3}}$）]${\;}^{（\frac{16}{y}）^{\frac{1}{3}}}$转化为条件形式进行化简即可．

解答 解：∵y∈R⁺，∴$\frac{2}{y}$∈R⁺，
∵若a∈R⁺，且对任何x∈R⁺都有$[f（{x}^{3}+3）]^{\root{3}{x}}$=a²，
∴[f（$\frac{8+3{y}^{3}}{{y}^{3}}$）]${\;}^{（\frac{16}{y}）^{\frac{1}{3}}}$=[f（$\frac{2}{y}$）³]+3]${\;}^{（\frac{16}{y}）^{\frac{1}{3}}}$=[f（$\frac{2}{y}$）³+3]${\;}^{（\frac{2}{y}）^{\frac{1}{3}}}$${\;}^{•（{2}^{\frac{1}{3}}）^{3}}$
=a^2•2=a⁴．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据条件进行转化是解决本题的关键．