Question

8．我市一农民在自留地建造一个长10m，深0.5m，横截面为等腰梯形的封闭式引水槽．若储水窖顶盖每平方米的造价为10元，侧面每平方米的造价为40元，底部每平方米的造价为50元．
（1）把建立引水槽的费用y（元）表示为引水槽的侧面与地面所成的角∠DAE=θ的函数；
（2）引水槽的侧面与地面所成的角θ多大时，其材料费最低？最低材料费是多少？（精确到0.01，$\sqrt{3}$≈1.732）
（3）按照题条件，在引水槽的深度和横截面积及所在的材料不改变的情况下，将引水槽的横截面形状改变为正方形的材料费与（2）中所求得的材料费相比较，哪一种设计所用材料费更省？省多少？

Answer 1

分析 （1）通过作AH⊥CD（垂足为H），依题意可知AH=0.5、∠ADH=θ，通过横截面是面积为0.25的等腰梯形可知AB=$\frac{1-cotθ}{2}$、CD=$\frac{1+cotθ}{2}$，进而AD=0.5•$\frac{1}{sinθ}$，利用y=2•10•AD•40+CD•10•10+AB•10•50化简可知y=300+200•$\frac{2-cosθ}{sinθ}$；
（2）通过记μ=$\frac{2-cosθ}{sinθ}$即μsinθ+cosθ=2，利用辅助角公式及三角函数有界性可知μ≥$\sqrt{3}$，进而计算可得结论；
（3）当截面为正方形时材料费700元，比较即得结论．

解答 解：（1）作AH⊥CD，垂足为H，则AH=0.5，∠ADH=θ，
∵横截面是面积为0.25的等腰梯形，
∴0.25=$\frac{1}{2}$（AB+CD）AH，
∴0.25=$\frac{1}{2}$[AB+（AB+2•0.5cotθ）]•0.5，
∴AB=$\frac{1-cotθ}{2}$，∴CD=$\frac{1+cotθ}{2}$，
又∵AD=$\frac{AH}{sinθ}$=0.5•$\frac{1}{sinθ}$，
∴y=2•10•AD•40+CD•10•10+AB•10•50
=2•10•0.5$\frac{1}{sinθ}$•40+$\frac{1+cotθ}{2}$•10•10+$\frac{1-cotθ}{2}$•10•50
=400•$\frac{1}{sinθ}$+100•$\frac{1+cotθ}{2}$+500•$\frac{1-cotθ}{2}$
=100（$\frac{6-4cotθ}{2}$+$\frac{4}{sinθ}$）
=300+200•$\frac{2-cosθ}{sinθ}$，
即所求函数f（θ）=300+200•300+200•$\frac{2-cosθ}{sinθ}$；
（2）记μ=$\frac{2-cosθ}{sinθ}$，则μsinθ+cosθ=2，
∴$\sqrt{{μ}^{2}+1}$sin（θ+φ）=2，
∴$\sqrt{{μ}^{2}+1}$=$\frac{2}{sin（θ+φ）}$≥2，
∴μ²+1≥4，即μ≥$\sqrt{3}$，
∴f（θ）_min=300+200$\sqrt{3}$≈300+200•1•732=646.4，
此时sin（θ+φ）=1，
∵φ=arccos$\frac{μ}{\sqrt{{μ}^{2}+1}}$
=arccos$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{π}{6}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$，
即当θ=$\frac{π}{3}$时所用材料费最低，最低费用为646.4元；
（3）若截面为正方形时，材料费y₁=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$）•10•40+$\frac{1}{2}$•10•50+$\frac{1}{2}$•10•10=700元，
由（2）可知横截面为等腰梯形时所用材料费比横截面为正方形时所用材料费要省700-646.4=53.6元．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定函数模型是关键．注意解题方法的积累，属于中档题．