Question

5．已知S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²，求通项．

Answer 1

分析 通过S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²与S_n+1=$\frac{1}{4}$（a_n+1+1）²作差、整理可知（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=2（a_n+1+a_n），进而数列{a_n}是以1为首项、2为公差的等差数列，计算即得结论．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{4}$（a_n+1）²，
∴S_n+1=$\frac{1}{4}$（a_n+1+1）²，
两式相减得：a_n+1=$\frac{1}{4}$（${{a}_{n+1}}^{2}$+2a_n+1-${{a}_{n}}^{2}$-2a_n），
整理得：（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=2（a_n+1+a_n），
又∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=2，
又∵a₁=$\frac{1}{4}$（a₁+1）²，即a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项、2为公差的等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．