Question

20．设复数列{x_n}满足x_n≠a-1，0，且x_n+1=$\frac{a{x}_{n}}{{x}_{n}+1}$，若对任意n∈N^*，都有x_n+3=x_n，则a的值是$-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{3}}{2}i$．

Answer 1

分析 通过x_n+1=$\frac{a{x}_{n}}{{x}_{n}+1}$化简可知x_n+3=$\frac{{a}^{3}{x}_{n}}{（{a}^{2}+a+1）{x}_{n}+1}$=x_n，整理可得（a²+a+1）x_n（x_n+1-a）=0，从而只需求解方程a²+a+1=0的复数根即可．

解答 解：依题意，x_n+3=$\frac{a{x}_{n+2}}{{x}_{n+2}+1}$
=$\frac{a•\frac{{ax}_{n+1}}{{x}_{n+1}+1}}{\frac{a{x}_{n+1}}{{x}_{n+1}+1}+1}$
=$\frac{{a}^{2}{x}_{n+1}}{（a+1）{x}_{n+1}+1}$
=$\frac{{a}^{2}•\frac{{ax}_{n}}{{x}_{n}+1}}{（a+1）•\frac{a{x}_{n}}{{x}_{n}+1}+1}$
=$\frac{{a}^{3}{x}_{n}}{（{a}^{2}+a+1）{x}_{n}+1}$
=x_n，
∴a³x_n=（a²+a+1）${{x}_{n}}^{2}$+x_n，
∴（a³-1）x_n=（a²+a+1）${{x}_{n}}^{2}$，
整理得：（a²+a+1）x_n（x_n+1-a）=0，
∵x_n≠a-1、0，
∴a²+a+1=0，
解得：a=$-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{3}}{2}i$，
故答案为：$-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{3}}{2}i$．

点评 本题是一道关于数列与复数的综合题，综合性强，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．