Question

10．已知0＜b≤a，则a²+$\frac{4}{b（a-b）}$的最小值为8．

Answer 1

分析 由条件可得a=b+（a-b），二次运用基本不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．

解答 解：0＜b≤a，即为a-b≥0，
a=b+（a-b）≥2$\sqrt{b（a-b）}$，
则a²+$\frac{4}{b（a-b）}$≥（2$\sqrt{b（a-b）}$）²+$\frac{4}{b（a-b）}$=4b（a-b）+$\frac{4}{b（a-b）}$≥2$\sqrt{4b（a-b）•\frac{4}{b（a-b）}}$=8．
当且仅当b=a-b，且4b（a-b）=$\frac{4}{b（a-b）}$，即a=2，b=1，
取得最小值8．
故答案为：8．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意等号成立的条件，以及变形：a=b+（a-b），属于中档题和易错题．