Question

18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为π，点（-$\frac{π}{3}$，1）在函数y=f（x）的图象上．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）先将函数y=f（x）的图象向下平移2个单位，再将所有的点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在（-π，π）上的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）根据最值求出A，m，其图象相邻两对称轴间的距离，求出周期，确定ω，过点（-$\frac{π}{3}$，1）求φ；
（2）首先，确定函数y=g（x）解析式，然后，结合三角函数的单调性求解其单调增区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）+m（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最大值为4，最小值为0，
∴A=m=2，
T=2π=$\frac{2π}{ω}$，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（x+φ）+2，
∵点（-$\frac{π}{3}$，1）在函数y=f（x）的图象上．
∴f（-$\frac{π}{3}$）=2sin（-$\frac{π}{3}$+φ）+2=1，
∴sin（φ-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∵0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴-$\frac{π}{3}$＜φ-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{6}$，
∴φ-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）+2，
（2）根据（1），将函数y=f（x）的图象向下平移2个单位，
得到y=2sin（x+$\frac{π}{6}$），
将所有的点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变）
得到函数y=g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
∴-$\frac{2π}{3}$+2kπ≤2x≤$\frac{π}{3}$+2kπ，
∴-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，
∴函数的递增区间为：[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，
∴在（-π，π）的递增区间为：[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]和[$\frac{2π}{3}$，π）．

点评 本题考查三角函数的最值，三角函数的周期性及其求法，y=Asin（ωx+φ）+m中参数的物理意义，通过题目条件，正确求出函数的表达式，挖掘条件，利用周期正确解答是解好三角函数题目的关键，本题考查计算能力，是中档题．