Question

10．已知数列{a_n}满足2a_n+1=a_n+a_n+2（n∈N^*），其前n项和为S_n，当n=15时，S_奇-S_偶=30，且a₃=10，若b_n=$\frac{1}{2}$a_n-30，且数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n的最小值．

Answer 1

分析 利用等差数列的奇偶项性质求出公差d，由等差数列的通项公式求出首项，可得等差数列{a_n}的通项公式，再求出数列{b_n}的通项，利用等差数列的前n项和公式、二次函数的性质，可求前n项和T_n的最小值．

解答 解：∵数列{a_n}满足2a_n+1=a_n+a_n+2，n为正整数，
∴数列{a_n}是等差数列，
∵当n=15时，S_奇-S_偶=30，∴a₈=30，
又a₃=10，则公差d=$\frac{{a}_{8}-{a}_{3}}{8-3}$=4，
由a₃=a₁+2d=10，解得a₁=2，
∴a_n=2+（n-1）×4=4n-2，则b_n=$\frac{1}{2}$a_n-30=2n-31，
∴T_n=2（1+2+3+…+n）-31n=$2×\frac{n（1+n）}{2}$-31n
=n²-30n=（n-15）²-225，
∴当n=15时，T_n的最小值为-225．

点评 本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，以及等差数列的奇偶项性质，考查等差数列数列的前n项和的最值问题．