Question

17．已知a₁=2，a₂=3，a_n+1=6a_n-1-a_n（n≥2），求a_n．

Answer 1

分析 通过对a_n+1=6a_n-1-a_n（n≥2）变形可知a_n+1+3a_n=2（a_n+3a_n-1）（n≥2），进而数列{a_n+3a_n-1}是以9为首项、2为公比的等比数列，从而a_n+3a_n-1=9•2^n-2，对其变形可知a_n-9•2^n-1=-3（a_n-1-$\frac{9}{5}$•2^n-2），进而数列{a_n-$\frac{9}{5}$•2^n-1}是以$\frac{1}{5}$为首项、-3为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：∵a_n+1=6a_n-1-a_n（n≥2），
∴a_n+1+3a_n=2（a_n+3a_n-1）（n≥2），
又∵a₂+3a₁=3+3•2=9，
∴数列{a_n+3a_n-1}是以9为首项、2为公比的等比数列，
∴a_n+3a_n-1=9•2^n-2，
∴a_n-$\frac{9}{5}$•2^n-1=-3（a_n-1-$\frac{9}{5}$•2^n-2），
又∵a₁-$\frac{9}{5}$=2-$\frac{9}{5}$=$\frac{1}{5}$，
∴数列{a_n-$\frac{9}{5}$•2^n-1}是以$\frac{1}{5}$为首项、-3为公比的等比数列，
∴a_n-$\frac{9}{5}$•2^n-1=$\frac{1}{5}$•（-3）^n-1，
∴a_n=$\frac{9}{5}$•2^n-1+$\frac{1}{5}$•（-3）^n-1，
又∵a₁=2、a₂=3满足上式，
∴a_n=$\frac{9}{5}$•2^n-1+$\frac{1}{5}$•（-3）^n-1．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．