Question

已知定义域为R的偶函数f（x），对于任意x∈R，满足f（2+x）=f（2-x）．且当0≤x≤2时f（x）=x．令g₁（x）=g（x），g_n（x）=g_n-1（g（x）），其中n∈N^*，函数g（x）=

2x 0≤x≤1 4-2x 1＜x≤2

，则方程g_n（f（x））=

x

2014

的解的个数为

 

（结果用n表示）．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数奇偶性的性质

专题：新定义

分析：依题意知，f（x）是以4为周期的函数，且f（x）=|x-4k|，4k-2≤x≤4k+2，k∈Z．从而可求得g₁（x）与g₂（x）的解析式，于是知y=f（x）的图象是跨度为4高为2的“山峰”依次排列，y=g_n（x）的图象是跨度为2^1-n高为2的“山峰”依次排列（总长度为2），从而可得答案．

解答： 解：∵f（2+x）=f（2-x），
∴f（x）=f（4-x），用-x替换x得：f（-x）=f（4+x），
又f（-x）=f（x），
∴f（4+x）=f（x），即f（x）是以4为周期的函数，
∴f（x）=|x-4k|，4k-2≤x≤4k+2，k∈Z．
∵g₁（x）=g（x）=

2x，0≤x≤1 4-2x，1＜x≤2

，
g₂（x）=

4x，0≤x≤ 1 2 4-4x， 1 2 ＜x≤1 4(x-1)，1＜x≤ 3 2 4(2-x)， 3 2 ＜x≤2

，
∴f（x）的图象是跨度为4高为2的“山峰”依次排列，
g_n（x）=的图象是跨度为2^1-n高为2的“山峰”依次排列（总长度为2），
∴方程g_n（f（x））=

x

2014

的解满足0≤

x

2024

≤2，
∴0≤x≤4028=4×1007，
在f（x）的一个周期内，方程有2×

2

21-n

=2ⁿ⁺¹个解，
∴g_n（f（x））=

x

2014

的解的个数为1007×2ⁿ⁺¹=2014×2ⁿ．
故答案为：2014×2ⁿ．

点评：本题考查抽象函数及其应用，考查函数的周期性、对称性，考查函数解析式的确定与函数性质的分析，考查抽象思维与逻辑思维能力，属于难题．