Question

已知函数f(x)＝3^x，且f(a＋2)＝18，g(x)＝3a^x－4^x的定义域为[0，1]．

(1)求g(x)的解析式；

(2)求g(x)的单调区间，确定其增减性并试用定义证明；

(3)求g(x)的值域．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵f(x)＝3x，∴f(a＋2)＝3a+2＝18．∴3a＝2． 　　∴g(x)＝3ax－4x＝(3a)x－4x． 　　∴g(x)＝2x－4x． 　　(2)令t＝2x．∵x∈[0，1]，且函数t＝2x在区间[0，1]上单调递增，∴t∈[1，2]． 　　则y＝t－t2＝－(t2－t)＝－(t)2＋，t∈[1，2]． 　　∵函数t＝2x在区间[0，1]上单调递增，函数y＝t－t2在[1，2]上单调递减， 　　∴函数g(x)的单调递减区间为[0，1]． 　　下面给出证明： 　　任取x1、x2∈[0，1]，且x1＜x2，则 　　g(x2)－g(x1)＝ 　　＝， 　　∵0≤x1＜x2≤1，∴，且1≤＜2，1＜≤2． 　　∴2＜＜4．∴－3＜1＜－1． 　　∴()(1－)＜0． 　　∴g(x2)＜g(x1)． 　　∴g(x1)＞g(x2)． 　　∴函数g(x)在区间[0，1]上单调递减． 　　(3)∵g(x)在[0，1]上是减函数，∴g(1)≤g(x)≤g(0)． 　　∴g(1)＝21－41＝－2，g(0)＝20－40＝0． 　　∴－2≤g(x)≤0． 　　∴函数g(x)的值域为[－2，0]．

提示：

此题是一道有关函数的概念、函数性质及应用的推理、证明的综合题，做这类题目是可以从第(1)问寻找突破口，另外还要注意后面的各问分别以前面的(1)问作为提示或铺垫． 　　(1)要求函数g(x)的解析式，关键是把式中a的值求出来，而这可以由已知条件f(a＋2)＝18解得，从而求出g(x)的解析式； 　　(2)利用复合函数得单调性求g(x)的单调区间，并利用函数单调性得定义进行证明； 　　(3)利用函数的单调性求函数g(x)在区间[0，1]上的值域．