Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a为常数），曲线y=f（x）在与y轴的交点A处的切线斜率为﹣1．
（1）求a的值及函数y=f（x）的单调区间；
（2）若x1＜ln2，x2＞ln2，且f（x1）=f（x2），证明：x1+x2＜2ln2．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=ex﹣ax﹣1，得f′（x）=ex﹣a．

又f′（0）=1﹣a=﹣1，

∴a=2．

∴f（x）=ex﹣2x﹣1，f′（x）=ex﹣2．

由f'（x）=ex﹣2＞0，得x＞ln2．

∴函数f（x）在区间（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增，

（2）解：证明：设x＞ln2，

∴2ln2﹣x＜ln2，

∴f（2ln2﹣x）=e2ln2﹣x﹣2（2ln2﹣x）﹣1= +2x﹣2ln2﹣1，

令g（x）=f（x）﹣f（2ln2﹣x）= ﹣4x+4ln2，（x＞ln2），

∴g′（x）=ex+4e﹣x﹣4≥0，当且仅当x=ln2时，等号成立，

∴g（x）在（ln2，+∞）上单调递增，

又g（ln2）=0，

∴当x＞ln2时，g（x）=f（x）﹣f（2ln2﹣x）＞g（ln2）=0，

即f（x）＞f（2ln2﹣x），

∴f（x2）＞f（2ln2﹣x2），

又f（x1）=f（x2），

∴f（x1）＞f（2ln2﹣x2），

由于x2＞ln2，

∴2ln2﹣x2＜ln2，

∵x1＜ln2，

由（Ⅰ）函数f（x）在区间（﹣∞，ln2）上单调递减，

∴x1＜2ln2﹣x2，

即x1+x2＜2ln2

【解析】（1）求出函数的f′（x）=ex﹣a．通过f′（x）=ex﹣2＞0，即可求解函数f（x）在区间（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）上单调递增．（2）设x＞ln2，构造函数g（x）=f（x）﹣f（2ln2﹣x），分别根据函数的单调性，以及x1＜ln2，x2＞ln2，且f（x1）=f（x2）即可证明．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．