Question

【题目】已知函数.

（1）若,求曲线在处的切线方程；

（2）若在上单调递增,求实数的取值范围；

（3）当时,求证:对于任意的 ,均有.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）求出,由的值可得切点坐标，由的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（2）函数在[]上单调递增 在[]上恒有.即（）恒成立，令（）,只需求出的最小值即可得结果；（3）先证明当 []时, , 递增,有成立，再讨论两种情况若,不等式恒成立，只需分两种情况证明（]时也恒成立即可.

试题解析：（1）因为函数,则.

又因为,.

所以曲线在（）处的切线方程为: .

（2）因为,所以（）

函数在[]上单调递增 在[]上恒有.即（）恒成立.令（）,则

.又因为在[]上单调递增,所以,

所以.

（3）证明: 因为,所以（）.

令（）,则.

①当 []时, , 递增,有,

因为,此时, , 递增,

有成立.

②当（]时, , 递减,有,

若,此时, 递增, 显然成立.

若（],此时记,则在（]上递增,

在（]上递减.此时有,

,

构造,则,

令,求得.故在（]上递减,

在（）上递增,所以，

所以,此时满足，

综上所述,当时,对于任意的 [],均有.

【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义、利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题（2）是利用方法 ②求解的．