【题目】已知右焦点为
的椭圆
：
过点
（1）求椭圆的方程；
（2）过点
的直线
交椭圆于点
，连接
（
为坐标原点）交于点
，求
的面积取得最大值时直线的方程.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）由题意可知，左焦点
.所以由椭圆的定义
可求
，再根据
求出
，即可求出椭圆C的方程；
（2）分类讨论当直线的斜率存在和不存在两种情况求
的面积. 当直线的斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出的面积，再利用基本不等式求最值.
（1）
椭圆C：
的右焦点为
，
左焦点.
椭圆C过点P
，由椭圆的定义可知
，
.
由椭圆
的方程为.
（2）由题意可知，直线的斜率不为0.
当直线的斜率不存在时，易求
.
当直线的斜率存在时，可设直线
的方程为
.
联立方程组
消
可得
，
则
，
,
.
是
的中点，
，
，
，当且仅当
，即
时等号成立.
面积的最大值为2.
综上，面积的最大值为2.
所以直线的方程为.
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【题目】已知椭圆
的上顶点为
，以为圆心椭圆的长半轴为半径的圆与
轴的交点分别为
，
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）设不经过点的直线
与椭圆交于
，
两点，且
，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由．
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【题目】已知椭圆
的长轴长是短轴长的2倍，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，且
的面积为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，直线
与
轴交于点C，直线
与
轴交于点D，求证：四边形
的面积为定值．
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【题目】已知向量
，其中
、
，
为锐角，
的图象的两个相邻对称中心的距离为
，且当
时，取得最大值3．
（1）求的对称中心
（2）将的图象先向下平移1个单位，再将各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到
的图象，求在
的值域．
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【题目】已知P（3，
）是椭圆C：
1
上的点，Q是P关于x轴的对称点，椭圆C的离心率为
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点.
①若直线AB的斜率为
，求四边形APBQ面积的最大值.
②当A、B在运动过程中满足∠APQ=∠BPQ时，问直线AB的斜率是否为定值，并说明理由.
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【题目】某城市一社区接到有关部门的通知，对本社区居民用水量进行调研，通过抽样调查的方法获得了100户居民某年的月均用水量（单位：t），通过分组整理数据，得到数据的频率分布直方图如图所示：
（Ⅰ）求图中m的值；并估计该社区居民月均用水量的中位数和平均值.（保留3位小数）
（Ⅱ）用此样本频率估计概率，若从该社区随机抽查3户居民的月均用水量，问恰有2户超过
的概率为多少？
（Ⅲ）若按月均用水量
和
分成两个区间用户，按分层抽样的方法抽取10户，每户出一人参加水价调整方案听证会.并从这10人中随机选取3人在会上进行陈述发言，设来自用水量在区间
的人数为X，求X的分布列和数学期望.
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【题目】在三棱锥A﹣BCD中，∠ABC＝∠ABD＝∠CBD＝90°，BC＝BD＝BA＝1，过点A作平面α与BC，BD分别交于P，Q两点，若AB与平面α所成的角为30°，则截面APQ面积的最小值是（ ）
A.1B.
C.
D.
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【题目】设数列
的前
项和为
，已知
.
（1）令
，求数列
的通项公式；
（2）若数列
满足：
.
①求数列的通项公式；
②是否存在正整数，使得
成立？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.
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