Question

15．如图，三个边长为1的等边三角形有一条边在同一条直线上，边GD上有2016个不同的点P₁、P₂、P₃、…、P₂₀₁₆，则$\overrightarrow{AF}•（{{{\overrightarrow{AP}}_1}+{{\overrightarrow{AP}}_2}+{{\overrightarrow{AP}}_3}+…+{{\overrightarrow{AP}}_{2016}}}）$=9072．

Answer 1

分析 根据题意得出$\overrightarrow{AF}$⊥$\overrightarrow{DG}$，推出$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{{AP}_{1}}$=$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{{AP}_{2}}$=…=$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{{AP}_{2016}}$=$\frac{9}{2}$，即可计算$\overrightarrow{AF}•（{{{\overrightarrow{AP}}_1}+{{\overrightarrow{AP}}_2}+{{\overrightarrow{AP}}_3}+…+{{\overrightarrow{AP}}_{2016}}}）$的值．

解答 解：由图可知，∠FAD=30°，∠ADG=60°，
∴$\overrightarrow{AF}$⊥$\overrightarrow{DG}$，即$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{DG}$=0；
则$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{{AP}_{1}}$=$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AF}$•λ$\overrightarrow{DG}$=|$\overrightarrow{AF}$|×|$\overrightarrow{AD}$|×cos30°=$\sqrt{3}$×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9}{2}$，
又$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{{AP}_{1}}$=$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{{AP}_{2}}$=…=$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{{AP}_{2016}}$，
$\overrightarrow{AF}•（{{{\overrightarrow{AP}}_1}+{{\overrightarrow{AP}}_2}+{{\overrightarrow{AP}}_3}+…+{{\overrightarrow{AP}}_{2016}}}）$=$\frac{9}{2}$×2016=9072．
故答案为：9072．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了三角形中边角关系的运用与数学转化思想方法，是中档题．