Question

20．在锐角三角形ABC中，A=2B，B，C的对边分别是b、c．则$\frac{a}{b+c}$的取值范围是（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 由A=2B可得C=180°-3B，由A，B，C∈（0°，90°）可先确定B的范围，利用正弦定理化简表达式，求出范围即可．

解答 解：在锐角△ABC中，
∵A=2B，
∴C=180°-3B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{0°＜B＜90°}{0°＜2B＜90°}}\\{0°＜180°-3B＜90°}\end{array}\right.$，
∴∠B∈（30°，45°），cosB∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
由正弦定理可知：$\frac{a}{b+c}$=$\frac{sin2B}{sinB+sin3B}$=$\frac{sin2B}{2sin2BcosB}$=$\frac{1}{2cosB}$∈（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
故答案为：（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，注意锐角三角形中角的范围的确定，是本题解答的关键，考查计算能力，逻辑推理能力，属于中档题．